Préparation au Bac 2026

Préparation au Bac - Mathématiques Spécialité

Exemple d'exercice parmi les 30 exercices du chapitre

Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères : les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A
Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 3 caractères en base 64. Par exemple, « P3g » est une telle séquence. Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte : les séquences « m5C » et « 5Cm » ne sont pas identiques.

1. Déterminer le nombre de séquences possibles.
2. Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 3 caractères soient différents deux à deux.
3. a. Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre 'c' (minuscule).
b. En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre 'c' (minuscule).
c. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre 'c' (minuscule).
d. Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre 'c' (minuscule).

Partie B

On s'intéresse à la transmission d'une séquence de \(150\) caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à \(0\mbox{,}03\) et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles. On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.

\(n = \)
\(p = \)
La probabilité que tous les caractères soient bien transmis correspond à :
b. Donner l'expression exacte de cette probabilité.
On donnera l'expression sous la forme \(x^k\) avec \(x\) décimal et \(k\) entier.
c. Donner la valeur approchée de cette probabilité à \(10^{−3}\) près.
3. a. Calculer la probabilité que plus de \(21\) caractères soient mal transmis.
On donnera le résultat en notation scientifique avec trois chiffres significatifs.
b. L’affirmation suivante : « La probabilité que plus de \(21\) caractères soient mal transmis est négligeable » est-elle vraie ?

Partie C

On s'intéresse maintenant à la transmission de \(3\) séquences de \(150\) caractères.
On note \(X_1\), \(X_2\) et \(X_3\) les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des \(3\) séquences.
On admet que les variables aléatoires \(X_1\), \(X_2\) et \(X_3\) sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire \(X\) définie en partie B.
On note \(S = X_1 + X_2 + X_3\)

1. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire \(S\).
On donnera la valeur exacte.
2. Déterminer la variance de la variable aléatoire \(S\).
On donnera la valeur exacte.
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